Issolvi {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=13$$

$$y=17$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$5x-14-3y=0$$

Żid 14 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-3y=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Iddividi 35 b'7 biex tikseb5.

$$3x-2y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=14$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+14}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

Żid \frac{9y}{5} ma' -2y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

Naqqas \frac{42}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

Żid \frac{14}{5} ma' \frac{51}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=13$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=13,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$5x-14-3y=0$$

Żid 14 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-3y=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Iddividi 35 b'7 biex tikseb5.

$$3x-2y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=13,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$5x-14-3y=0$$

Żid 14 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x-3y=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Iddividi 35 b'7 biex tikseb5.

$$3x-2y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

Issimplifika.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

Naqqas 15x-10y=25 minn 15x-9y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y+10y=42-25$$

Żid -9y ma' 10y.

$$y=42-25$$

Żid 42 ma' -25.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'3x-2y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times 17=5$$

Immultiplika -2 b'17.

$$3x-34=5$$

Żid 34 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=13$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=13,y=17$$