Issolvi {l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+y=7$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-y+7}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+7y=11.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

Immultiplika -3 b'\frac{-y+7}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

Żid \frac{3y}{5} ma' 7y.

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

Żid \frac{21}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{38}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Żid \frac{7}{5} ma' -\frac{2}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Biex tagħmel 5x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

Issimplifika.

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

Naqqas -15x+35y=55 minn -15x-3y=-21 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-35y=-21-55$$

Żid -3y ma' -35y.

$$-38y=-21-55$$

Żid -21 ma' -55.

$$-38y=-76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'-3x+7y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+7\times 2=11$$

Immultiplika 7 b'2.

$$-3x+14=11$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$