Issolvi {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+3y=450$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-3y+450$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{5}+90 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Immultiplika 3 b'-\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Żid -\frac{9y}{5} ma' 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Naqqas 270 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=65$$

Issostitwixxi 65 għal y f'x=-\frac{3}{5}y+90. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Immultiplika -\frac{3}{5} b'65.

$$x=-39+90$$

Żid 90 ma' -39.

$$x=51$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=51,y=65$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=51,y=65$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Issimplifika.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Naqqas 15x+20y=2065 minn 15x+9y=1350 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-20y=1350-2065$$

Żid 9y ma' -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Żid 1350 ma' -2065.

$$-11y=-715$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=65$$

Issostitwixxi 65 għal y f'3x+4y=413. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\times 65=413$$

Immultiplika 4 b'65.

$$3x+260=413$$

Naqqas 260 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=153$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=51$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=51,y=65$$