Issolvi {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$4x+3y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$5y+5x=12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=9$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+9}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Immultiplika 5 b'\frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Żid -\frac{15y}{4} ma' 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Naqqas \frac{45}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3}{5} għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'\frac{3}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Żid \frac{9}{4} ma' -\frac{9}{20} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{9}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$4x+3y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$5y+5x=12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$4x+3y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$5y+5x=12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Issimplifika.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Naqqas 20x+20y=48 minn 20x+15y=45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y-20y=45-48$$

Żid 15y ma' -20y.

$$-5y=45-48$$

Żid 45 ma' -48.

$$-5y=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3}{5} għal y f'5x+5y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Immultiplika 5 b'\frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$