Issolvi {l}{4x+y=15}{-x+3y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { - x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=15$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y+15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-y+15}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+3y=-7.

$$-\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+3y=-7$$

Immultiplika -1 b'\frac{-y+15}{4}.

$$\frac{1}{4}y-\frac{15}{4}+3y=-7$$

Żid \frac{y}{4} ma' 3y.

$$\frac{13}{4}y-\frac{15}{4}=-7$$

Żid \frac{15}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{4}y=-\frac{13}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{15}{4}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-1.

$$x=\frac{1+15}{4}$$

Żid \frac{15}{4} ma' \frac{1}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{4\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 3-\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 15-\frac{1}{13}\left(-7\right)\\\frac{1}{13}\times 15+\frac{4}{13}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=15,-x+3y=-7$$

Biex tagħmel 4x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-4x-y=-15,4\left(-1\right)x+4\times 3y=4\left(-7\right)$$

Issimplifika.

$$-4x-y=-15,-4x+12y=-28$$

Naqqas -4x+12y=-28 minn -4x-y=-15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-y-12y=-15+28$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-y-12y=-15+28$$

Żid -y ma' -12y.

$$-13y=-15+28$$

Żid -15 ma' 28.

$$-13y=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-x+3y=-7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+3\left(-1\right)=-7$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$-x-3=-7$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$