Issolvi {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x-17+7y=0$$

Żid 17 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x+7y=17$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+5y=-12$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-5y-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{4}-3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Immultiplika 5 b'-\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Żid -\frac{25y}{4} ma' 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{128}{3}$$

Issostitwixxi \frac{128}{3} għal y f'x=-\frac{5}{4}y-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Immultiplika -\frac{5}{4} b'\frac{128}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Żid -3 ma' -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x-17+7y=0$$

Żid 17 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x+7y=17$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x-17+7y=0$$

Żid 17 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$5x+7y=17$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Issimplifika.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Naqqas 20x+28y=68 minn 20x+25y=-60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$25y-28y=-60-68$$

Żid 25y ma' -28y.

$$-3y=-60-68$$

Żid -60 ma' -68.

$$-3y=-128$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=\frac{128}{3}$$

Issostitwixxi \frac{128}{3} għal y f'5x+7y=17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Immultiplika 7 b'\frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Naqqas \frac{896}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$