Issolvi {l}{3.5c+5.25a=365.75}{c+a=9.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.5 c + 5.25 a = 365.75 } \\ { c + a = 9.4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal c, a

$$c=-180.8$$

$$a=190.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal c billi tiżola c fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3.5c+5.25a=365.75$$

Naqqas \frac{21a}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3.5c=-5.25a+365.75$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=\frac{2}{7}\left(-5.25a+365.75\right)$$

Immultiplika \frac{2}{7} b'\frac{-21a+1463}{4}.

$$c=-1.5a+104.5$$

Issostitwixxi \frac{-3a+209}{2} għal c fl-ekwazzjoni l-oħra, c+a=9.4.

$$-1.5a+104.5+a=9.4$$

Żid -\frac{3a}{2} ma' a.

$$-0.5a+104.5=9.4$$

Naqqas 104.5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.5a=-95.1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$a=190.2$$

Issostitwixxi 190.2 għal a f'c=-1.5a+104.5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c=-1.5\times 190.2+104.5$$

Immultiplika -1.5 b'190.2 billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$c=-285.3+104.5$$

Żid 104.5 ma' -285.3 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$c=-180.8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=-180.8,a=190.2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3.5-5.25}&-\frac{5.25}{3.5-5.25}\\-\frac{1}{3.5-5.25}&\frac{3.5}{3.5-5.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&3\\\frac{4}{7}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 365.75+3\times 9.4\\\frac{4}{7}\times 365.75-2\times 9.4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180.8\\190.2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi c u a.

$$c=-180.8,a=190.2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

Biex tagħmel \frac{7c}{2} u c ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.5.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=3.5\times 9.4$$

Issimplifika.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=32.9$$

Naqqas 3.5c+3.5a=32.9 minn 3.5c+5.25a=365.75 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3.5c-3.5c+5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

Żid \frac{7c}{2} ma' -\frac{7c}{2}. \frac{7c}{2} u -\frac{7c}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

Żid \frac{21a}{4} ma' -\frac{7a}{2}.

$$1.75a=365.75-32.9$$

Żid 365.75 ma' -32.9 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$1.75a=332.85$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.75, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$a=190.2$$

Issostitwixxi 190.2 għal a f'c+a=9.4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c+190.2=9.4$$

Naqqas 190.2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$c=-180.8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=-180.8,a=190.2$$