Issolvi {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x-13+y=0$$

Żid 13 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x+y=13$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=13$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+13}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

Immultiplika 2 b'\frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Żid -\frac{2y}{3} ma' 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Naqqas \frac{26}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{25}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Żid \frac{13}{3} ma' \frac{2}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x-13+y=0$$

Żid 13 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x+y=13$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x-13+y=0$$

Żid 13 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$3x+y=13$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Issimplifika.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Naqqas 6x+27y=-24 minn 6x+2y=26 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-27y=26+24$$

Żid 2y ma' -27y.

$$-25y=26+24$$

Żid 26 ma' 24.

$$-25y=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'2x+9y=-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

Immultiplika 9 b'-2.

$$2x-18=-8$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-2$$