Issolvi {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 22x maż-żewġ naħat.

$$-5x+2y+22x=0$$

Ikkombina -5x u 22x biex tikseb 17x.

$$17x+2y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+5y=-24$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-5y-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{3}-8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Immultiplika 17 b'-\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Żid -\frac{85y}{3} ma' 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Żid 136 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{79}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Issostitwixxi -\frac{408}{79} għal y f'x=-\frac{5}{3}y-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-\frac{408}{79} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Żid -8 ma' \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 22x maż-żewġ naħat.

$$-5x+2y+22x=0$$

Ikkombina -5x u 22x biex tikseb 17x.

$$17x+2y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 22x maż-żewġ naħat.

$$-5x+2y+22x=0$$

Ikkombina -5x u 22x biex tikseb 17x.

$$17x+2y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Biex tagħmel 3x u 17x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'17 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Issimplifika.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Naqqas 51x+6y=0 minn 51x+85y=-408 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Żid 51x ma' -51x. 51x u -51x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$85y-6y=-408$$

Żid 85y ma' -6y.

$$79y=-408$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Issostitwixxi -\frac{408}{79} għal y f'17x+2y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Immultiplika 2 b'-\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Żid \frac{816}{79} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$x=\frac{48}{79}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$