Issolvi {l}{3x+2y=-8}{2x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { 2 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=-8$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-8}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+5y=2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)+5y=2$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y-8}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{16}{3}+5y=2$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' 5y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{16}{3}=2$$

Żid \frac{16}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{3}y=\frac{22}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'2.

$$x=\frac{-4-8}{3}$$

Żid -\frac{8}{3} ma' -\frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}&\frac{3}{3\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-8\right)-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{2}{11}\left(-8\right)+\frac{3}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-8\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 2$$

Issimplifika.

$$6x+4y=-16,6x+15y=6$$

Naqqas 6x+15y=6 minn 6x+4y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+4y-15y=-16-6$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-15y=-16-6$$

Żid 4y ma' -15y.

$$-11y=-16-6$$

Żid -16 ma' -6.

$$-11y=-22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'2x+5y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+5\times 2=2$$

Immultiplika 5 b'2.

$$2x+10=2$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=2$$