Issolvi {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3a+b=-3$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3a=-b-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Issostitwixxi -\frac{b}{3}-1 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Immultiplika 2 b'-\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Żid -\frac{2b}{3} ma' -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{5} għal b f'a=-\frac{1}{3}b-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-\frac{3}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Żid -1 ma' \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Biex tagħmel 3a u 2a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Naqqas 6a-3b=-3 minn 6a+2b=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Żid 6a ma' -6a. 6a u -6a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2b+3b=-6+3$$

Żid 2b ma' 3b.

$$5b=-6+3$$

Żid -6 ma' 3.

$$5b=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{5} għal b f'2a-b=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Naqqas \frac{3}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$