Issolvi {l}{3A+4C=136}{2A+3C=97}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A + 4 C = 136 } \\ { 2 A + 3 C = 97 } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, C

$$A=20$$

$$C=19$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3A+4C=136,2A+3C=97$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3A+4C=136$$

Naqqas 4C miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3A=-4C+136$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-4C+136\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4C+136.

$$A=-\frac{4}{3}C+\frac{136}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4C+136}{3} għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, 2A+3C=97.

$$2\left(-\frac{4}{3}C+\frac{136}{3}\right)+3C=97$$

Immultiplika 2 b'\frac{-4C+136}{3}.

$$-\frac{8}{3}C+\frac{272}{3}+3C=97$$

Żid -\frac{8C}{3} ma' 3C.

$$\frac{1}{3}C+\frac{272}{3}=97$$

Naqqas \frac{272}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}C=\frac{19}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$C=19$$

Issostitwixxi 19 għal C f'A=-\frac{4}{3}C+\frac{136}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=-\frac{4}{3}\times 19+\frac{136}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'19.

$$A=\frac{-76+136}{3}$$

Żid \frac{136}{3} ma' -\frac{76}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$A=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=20,C=19$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3A+4C=136,2A+3C=97$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}136\\97\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 136-4\times 97\\-2\times 136+3\times 97\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\19\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u C.

$$A=20,C=19$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3A+4C=136,2A+3C=97$$

Biex tagħmel 3A u 2A ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3A+2\times 4C=2\times 136,3\times 2A+3\times 3C=3\times 97$$

Issimplifika.

$$6A+8C=272,6A+9C=291$$

Naqqas 6A+9C=291 minn 6A+8C=272 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6A-6A+8C-9C=272-291$$

Żid 6A ma' -6A. 6A u -6A jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8C-9C=272-291$$

Żid 8C ma' -9C.

$$-C=272-291$$

Żid 272 ma' -291.

$$-C=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$C=19$$

Issostitwixxi 19 għal C f'2A+3C=97. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$2A+3\times 19=97$$

Immultiplika 3 b'19.

$$2A+57=97$$

Naqqas 57 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2A=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$A=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=20,C=19$$