Issolvi {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$20a+3b=41$$

Naqqas 3b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20a=-3b+41$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

Immultiplika \frac{1}{20} b'-3b+41.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

Issostitwixxi \frac{-3b+41}{20} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 15a+7b=45.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

Immultiplika 15 b'\frac{-3b+41}{20}.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

Żid -\frac{9b}{4} ma' 7b.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

Naqqas \frac{123}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=3$$

Issostitwixxi 3 għal b f'a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

Immultiplika -\frac{3}{20} b'3.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

Żid \frac{41}{20} ma' -\frac{9}{20} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=\frac{8}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Biex tagħmel 20a u 15a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'15 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'20.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

Issimplifika.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

Naqqas 300a+140b=900 minn 300a+45b=615 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

Żid 300a ma' -300a. 300a u -300a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$45b-140b=615-900$$

Żid 45b ma' -140b.

$$-95b=615-900$$

Żid 615 ma' -900.

$$-95b=-285$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-95.

$$b=3$$

Issostitwixxi 3 għal b f'15a+7b=45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$15a+7\times 3=45$$

Immultiplika 7 b'3.

$$15a+21=45$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15a=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$a=\frac{8}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$