Issolvi {l}{2x-y=5}{3x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=5$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5+y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+4y=2$$

Immultiplika 3 b'\frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+4y=2$$

Żid \frac{3y}{2} ma' 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{1}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Issimplifika.

$$6x-3y=15,6x+8y=4$$

Naqqas 6x+8y=4 minn 6x-3y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-3y-8y=15-4$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-8y=15-4$$

Żid -3y ma' -8y.

$$-11y=15-4$$

Żid 15 ma' -4.

$$-11y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'3x+4y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-1\right)=2$$

Immultiplika 4 b'-1.

$$3x-4=2$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$