Issolvi {l}{2x-y=2}{3x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=1.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)-2y=1$$

Immultiplika 3 b'\frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3-2y=1$$

Żid \frac{3y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{1}{2}y+3=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{1}{2}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+1$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'4.

$$x=2+1$$

Żid 1 ma' 2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\3\times 2-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2$$

Issimplifika.

$$6x-3y=6,6x-4y=2$$

Naqqas 6x-4y=2 minn 6x-3y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-3y+4y=6-2$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y+4y=6-2$$

Żid -3y ma' 4y.

$$y=6-2$$

Żid 6 ma' -2.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'3x-2y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times 4=1$$

Immultiplika -2 b'4.

$$3x-8=1$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$