Issolvi {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y-7=0$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x+y=7$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+7}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Immultiplika 17 b'\frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Żid -\frac{17y}{2} ma' -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Żid \frac{119}{2} ma' -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Naqqas \frac{103}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{39}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{103}{39}$$

Issostitwixxi \frac{103}{39} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'\frac{103}{39} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Żid \frac{7}{2} ma' -\frac{103}{78} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{85}{39}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Biex tagħmel 2x u 17x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'17 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Issimplifika.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Naqqas 34x-22y-16=0 minn 34x+17y-119=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Żid 34x ma' -34x. 34x u -34x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$17y+22y-119+16=0$$

Żid 17y ma' 22y.

$$39y-119+16=0$$

Żid -119 ma' 16.

$$39y-103=0$$

Żid 103 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$39y=103$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'39.

$$y=\frac{103}{39}$$

Issostitwixxi \frac{103}{39} għal y f'17x-11y-8=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Immultiplika -11 b'\frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Żid -\frac{1133}{39} ma' -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Żid \frac{1445}{39} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$x=\frac{85}{39}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$