Issolvi {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+7y=22$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-7y+22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{2}+11 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

Immultiplika 2 b'-\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

Żid -7y ma' -3y.

$$-10y+22=-14$$

Naqqas 22 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=-36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'x=-\frac{7}{2}y+11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Immultiplika -\frac{7}{2} b'\frac{18}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Żid 11 ma' -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Naqqas 2x-3y=-14 minn 2x+7y=22 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y+3y=22+14$$

Żid 7y ma' 3y.

$$10y=22+14$$

Żid 22 ma' 14.

$$10y=36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'2x-3y=-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

Immultiplika -3 b'\frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Żid \frac{54}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$