Issolvi {l}{2x+5y=3}{3x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { 3 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=3$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+3.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=-5.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}\right)-2y=-5$$

Immultiplika 3 b'\frac{-5y+3}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{9}{2}-2y=-5$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{9}{2}=-5$$

Naqqas \frac{9}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{19}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -\frac{5}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{5}{19}\left(-5\right)\\\frac{3}{19}\times 3-\frac{2}{19}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$6x+15y=9,6x-4y=-10$$

Naqqas 6x-4y=-10 minn 6x+15y=9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+15y+4y=9+10$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y+4y=9+10$$

Żid 15y ma' 4y.

$$19y=9+10$$

Żid 9 ma' 10.

$$19y=19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'3x-2y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2=-5$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=1$$