Issolvi {l}{2x+4y=5}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$x+y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=5$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+5.

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi -2y+\frac{5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=0.

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

Żid -2y ma' y.

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-\frac{5}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal y f'x=-2y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

Immultiplika -2 b'\frac{5}{2}.

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$x+y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid y maż-żewġ naħat.

$$x+y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

Naqqas 2x+2y=0 minn 2x+4y=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+4y-2y=5$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-2y=5$$

Żid 4y ma' -2y.

$$2y=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal y f'x+y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{5}{2}=0$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$