Issolvi {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=362$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+362$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+362.

$$x=-2y+181$$

Issostitwixxi -2y+181 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=153.5.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

Immultiplika 3 b'-2y+181.

$$-6y+543+2y=153.5$$

Żid -6y ma' 2y.

$$-4y+543=153.5$$

Naqqas 543 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=-389.5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=97.375$$

Issostitwixxi 97.375 għal y f'x=-2y+181. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 97.375+181$$

Immultiplika -2 b'97.375.

$$x=-194.75+181$$

Żid 181 ma' -194.75.

$$x=-13.75$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Issimplifika.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Naqqas 6x+4y=307 minn 6x+12y=1086 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-4y=1086-307$$

Żid 12y ma' -4y.

$$8y=1086-307$$

Żid 1086 ma' -307.

$$8y=779$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=\frac{779}{8}$$

Issostitwixxi \frac{779}{8} għal y f'3x+2y=153.5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

Immultiplika 2 b'\frac{779}{8}.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Naqqas \frac{779}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{55}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$