Issolvi {l}{2x+3y=90}{3y+5x=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 90 } \\ { 3 y + 5 x = 45 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-15$$

$$y=40$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=90$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+90\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+90.

$$x=-\frac{3}{2}y+45$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+45 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+3y=45.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+45\right)+3y=45$$

Immultiplika 5 b'-\frac{3y}{2}+45.

$$-\frac{15}{2}y+225+3y=45$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' 3y.

$$-\frac{9}{2}y+225=45$$

Naqqas 225 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{2}y=-180$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=40$$

Issostitwixxi 40 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 40+45$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'40.

$$x=-60+45$$

Żid 45 ma' -60.

$$x=-15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-15,y=40$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-3\times 5}&\frac{2}{2\times 3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 90+\frac{1}{3}\times 45\\\frac{5}{9}\times 90-\frac{2}{9}\times 45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\40\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-15,y=40$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Naqqas 5x+3y=45 minn 2x+3y=90 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-5x+3y-3y=90-45$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-5x=90-45$$

Żid 2x ma' -5x.

$$-3x=90-45$$

Żid 90 ma' -45.

$$-3x=45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-15$$

Issostitwixxi -15 għal x f'5x+3y=45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$5\left(-15\right)+3y=45$$

Immultiplika 5 b'-15.

$$-75+3y=45$$

Żid 75 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=40$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-15,y=40$$