Issolvi {l}{2x+3y=5}{7x=4y-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{5}{29}\approx 0.172413793$$

$$y = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$7x-4y=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=5,7x-4y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=5$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x-4y=-5.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-5$$

Immultiplika 7 b'\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-5$$

Żid -\frac{21y}{2} ma' -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-5$$

Naqqas \frac{35}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{45}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{29}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{45}{29}$$

Issostitwixxi \frac{45}{29} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{45}{29}+\frac{5}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{45}{29} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{135}{58}+\frac{5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{135}{58} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{5}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{29},y=\frac{45}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$7x-4y=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=5,7x-4y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-5\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\\\frac{45}{29}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{29},y=\frac{45}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$7x-4y=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=5,7x-4y=-5$$

Biex tagħmel 2x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$14x+21y=35,14x-8y=-10$$

Naqqas 14x-8y=-10 minn 14x+21y=35 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14x-14x+21y+8y=35+10$$

Żid 14x ma' -14x. 14x u -14x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$21y+8y=35+10$$

Żid 21y ma' 8y.

$$29y=35+10$$

Żid 35 ma' 10.

$$29y=45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'29.

$$y=\frac{45}{29}$$

Issostitwixxi \frac{45}{29} għal y f'7x-4y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x-4\times \frac{45}{29}=-5$$

Immultiplika -4 b'\frac{45}{29}.

$$7x-\frac{180}{29}=-5$$

Żid \frac{180}{29} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=\frac{35}{29}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{5}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{29},y=\frac{45}{29}$$