Issolvi {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$18x-14y=-5$$

Żid 14y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$18x=14y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{18} b'14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

Issostitwixxi \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

Immultiplika 18 b'\frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

Żid 14y ma' 2y.

$$16y-5=-20$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Issostitwixxi -\frac{15}{16} għal y f'x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

Immultiplika \frac{7}{9} b'-\frac{15}{16} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

Żid -\frac{5}{18} ma' -\frac{35}{48} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Naqqas 18x+2y=-20 minn 18x-14y=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y-2y=-5+20$$

Żid -14y ma' -2y.

$$-16y=-5+20$$

Żid -5 ma' 20.

$$-16y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Issostitwixxi -\frac{15}{16} għal y f'18x+2y=-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

Immultiplika 2 b'-\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

Żid \frac{15}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$