Issolvi {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$16x-7y=-7$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16x=7y-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{16} b'-7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

Issostitwixxi \frac{-7+7y}{16} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

Immultiplika 20 b'\frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

Żid \frac{35y}{4} ma' -19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

Żid \frac{35}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{41}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{41} għal y f'x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

Immultiplika \frac{7}{16} b'-\frac{11}{41} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

Żid -\frac{7}{16} ma' -\frac{77}{656} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Biex tagħmel 16x u 20x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'20 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

Issimplifika.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

Naqqas 320x-304y=-96 minn 320x-140y=-140 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

Żid 320x ma' -320x. 320x u -320x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-140y+304y=-140+96$$

Żid -140y ma' 304y.

$$164y=-140+96$$

Żid -140 ma' 96.

$$164y=-44$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{41} għal y f'20x-19y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

Immultiplika -19 b'-\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

Naqqas \frac{209}{41} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$