Issolvi {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$11x+5y=7$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11x=-5y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{11} b'-5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+7}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Immultiplika 6 b'\frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Żid -\frac{30y}{11} ma' 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Naqqas \frac{42}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{11}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=63$$

Issostitwixxi 63 għal y f'x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Immultiplika -\frac{5}{11} b'63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Żid \frac{7}{11} ma' -\frac{315}{11} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-28,y=63$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-28,y=63$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Biex tagħmel 11x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Issimplifika.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Naqqas 66x+33y=231 minn 66x+30y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Żid 66x ma' -66x. 66x u -66x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$30y-33y=42-231$$

Żid 30y ma' -33y.

$$-3y=42-231$$

Żid 42 ma' -231.

$$-3y=-189$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=63$$

Issostitwixxi 63 għal y f'6x+3y=21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+3\times 63=21$$

Immultiplika 3 b'63.

$$6x+189=21$$

Naqqas 189 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-168$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-28$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-28,y=63$$