Issolvi {l}{-x+8y=18}{x-6y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 8 y = 18 } \\ { x - 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-10$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+8y=18$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-8y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-8y+18\right)$$

Immultiplika -1 b'-8y+18.

$$x=8y-18$$

Issostitwixxi 8y-18 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-6y=-16.

$$8y-18-6y=-16$$

Żid 8y ma' -6y.

$$2y-18=-16$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=8y-18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=8-18$$

Żid -18 ma' 8.

$$x=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-10,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{8}{-\left(-6\right)-8}\\-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&4\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 18+4\left(-16\right)\\\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-10,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Biex tagħmel -x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-x+8y=18,-x-\left(-6y\right)=-\left(-16\right)$$

Issimplifika.

$$-x+8y=18,-x+6y=16$$

Naqqas -x+6y=16 minn -x+8y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+8y-6y=18-16$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-6y=18-16$$

Żid 8y ma' -6y.

$$2y=18-16$$

Żid 18 ma' -16.

$$2y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x-6y=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-6=-16$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-10,y=1$$