Issolvi {l}{-x+6y=20}{-x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 6 y = 20 } \\ { - x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+6y=20$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-6y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-6y+20\right)$$

Immultiplika -1 b'-6y+20.

$$x=6y-20$$

Issostitwixxi 6y-20 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+3y=8.

$$-\left(6y-20\right)+3y=8$$

Immultiplika -1 b'6y-20.

$$-6y+20+3y=8$$

Żid -6y ma' 3y.

$$-3y+20=8$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=6y-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=6\times 4-20$$

Immultiplika 6 b'4.

$$x=24-20$$

Żid -20 ma' 24.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-3-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{1}{-3-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20-2\times 8\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Naqqas -x+3y=8 minn -x+6y=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+6y-3y=20-8$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-3y=20-8$$

Żid 6y ma' -3y.

$$3y=20-8$$

Żid 20 ma' -8.

$$3y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-x+3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+3\times 4=8$$

Immultiplika 3 b'4.

$$-x+12=8$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$