Issolvi {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+3y=3$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-3y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-3+3y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Immultiplika 4 b'\frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Żid \frac{12y}{5} ma' 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Żid \frac{12}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{27}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Żid -\frac{3}{5} ma' \frac{18}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Naqqas 4x+3y=30 minn -5x+3y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-5x-4x=3-30$$

Żid -5x ma' -4x.

$$-9x=3-30$$

Żid 3 ma' -30.

$$-9x=-27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'4x+3y=30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4\times 3+3y=30$$

Immultiplika 4 b'3.

$$12+3y=30$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=6$$