Issolvi {l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x+3y=-5$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-3y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-3y-5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3y+5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x+3y=-20.

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

Immultiplika -7 b'\frac{3y+5}{4}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

Żid -\frac{21y}{4} ma' 3y.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

Żid \frac{35}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'5.

$$x=\frac{15+5}{4}$$

Żid \frac{5}{4} ma' \frac{15}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Naqqas -7x+3y=-20 minn -4x+3y=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x+7x=-5+20$$

Żid -4x ma' 7x.

$$3x=-5+20$$

Żid -5 ma' 20.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Issostitwixxi 5 għal x f'-7x+3y=-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-7\times 5+3y=-20$$

Immultiplika -7 b'5.

$$-35+3y=-20$$

Żid 35 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=5$$