Issolvi {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=7$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-3y+4x=13$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=-4x+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi \frac{4x-13}{3} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

Immultiplika -5 b'\frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

Żid -\frac{20x}{3} ma' -6x.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

Naqqas \frac{65}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{38}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=7$$

Issostitwixxi 7 għal x f'y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

Immultiplika \frac{4}{3} b'7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

Żid -\frac{13}{3} ma' \frac{28}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=5,x=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=5,x=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Biex tagħmel -3y u -5y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-3.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

Issimplifika.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

Naqqas 15y+18x=201 minn 15y-20x=-65 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

Żid 15y ma' -15y. 15y u -15y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-20x-18x=-65-201$$

Żid -20x ma' -18x.

$$-38x=-65-201$$

Żid -65 ma' -201.

$$-38x=-266$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$x=7$$

Issostitwixxi 7 għal x f'-5y-6x=-67. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-5y-6\times 7=-67$$

Immultiplika -6 b'7.

$$-5y-42=-67$$

Żid 42 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=5,x=7$$