Issolvi {l}{-2x+4y=-4}{x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = - 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-6$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x+4y=-4$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-4y-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-4y-4.

$$x=2y+2$$

Issostitwixxi 2+2y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-3y=6.

$$2y+2-3y=6$$

Żid 2y ma' -3y.

$$-y+2=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=2y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-4\right)+2$$

Immultiplika 2 b'-4.

$$x=-8+2$$

Żid 2 ma' -8.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)-2\times 6\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-6,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

Biex tagħmel -2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-2x+4y=-4,-2x-2\left(-3\right)y=-2\times 6$$

Issimplifika.

$$-2x+4y=-4,-2x+6y=-12$$

Naqqas -2x+6y=-12 minn -2x+4y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+4y-6y=-4+12$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-6y=-4+12$$

Żid 4y ma' -6y.

$$-2y=-4+12$$

Żid -4 ma' 12.

$$-2y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x-3y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-3\left(-4\right)=6$$

Immultiplika -3 b'-4.

$$x+12=6$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=-4$$