Issolvi {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-12x+10y=-10$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-12x=-10y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{12} b'-10y-10.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

Issostitwixxi \frac{5+5y}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

Immultiplika 6 b'\frac{5+5y}{6}.

$$5y+5-7y=-5$$

Żid 5y ma' -7y.

$$-2y+5=-5$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

Immultiplika \frac{5}{6} b'5.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

Żid \frac{5}{6} ma' \frac{25}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Biex tagħmel -12x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-12.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

Naqqas -72x+84y=60 minn -72x+60y=-60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

Żid -72x ma' 72x. -72x u 72x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$60y-84y=-60-60$$

Żid 60y ma' -84y.

$$-24y=-60-60$$

Żid -60 ma' -60.

$$-24y=-120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'6x-7y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-7\times 5=-5$$

Immultiplika -7 b'5.

$$6x-35=-5$$

Żid 35 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=5$$