Issolvi {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Żid m_{1}x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Issostitwixxi m_{1}x+am_{1}-b għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Żid m_{1}x ma' -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Naqqas am_{1}-b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Issostitwixxi -a għal x f'y=m_{1}x+am_{1}-b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Immultiplika m_{1} b'-a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Żid am_{1}-b ma' -m_{1}a.

$$y=-b$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-b,x=-a$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-b,x=-a$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Naqqas y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b minn y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid -m_{1}x ma' m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid am_{1}-b ma' -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Issostitwixxi -a għal x f'y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Immultiplika -m_{2} b'-a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Naqqas m_{2}a miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-b$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-b,x=-a$$

Solvi għal x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Żid m_{1}x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Issostitwixxi m_{1}x+am_{1}-b għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Żid m_{1}x ma' -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Naqqas am_{1}-b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Issostitwixxi -a għal x f'y=m_{1}x+am_{1}-b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Immultiplika m_{1} b'-a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Żid am_{1}-b ma' -m_{1}a.

$$y=-b$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-b,x=-a$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-b,x=-a$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{1} b'x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Naqqas m_{1}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika m_{2} b'x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Naqqas m_{2}x miż-żewġ naħat.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Naqqas b miż-żewġ naħat.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Naqqas y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b minn y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid -m_{1}x ma' m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Żid am_{1}-b ma' -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Issostitwixxi -a għal x f'y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Immultiplika -m_{2} b'-a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Naqqas m_{2}a miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-b$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-b,x=-a$$