Issolvi {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,10.

$$2x-20=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-20-y=0$$

Żid 20 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x+45+7y=0$$

Naqqas 45 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x+7y=-45$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=20$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Immultiplika 5 b'\frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Żid \frac{5y}{2} ma' 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Naqqas 50 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-10$$

Issostitwixxi -10 għal y f'x=\frac{1}{2}y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-10.

$$x=-5+10$$

Żid 10 ma' -5.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-10$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,10.

$$2x-20=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-20-y=0$$

Żid 20 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x+45+7y=0$$

Naqqas 45 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x+7y=-45$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-10$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,10.

$$2x-20=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-20-y=0$$

Żid 20 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 7y maż-żewġ naħat.

$$5x+45+7y=0$$

Naqqas 45 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$5x+7y=-45$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Issimplifika.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Naqqas 10x+14y=-90 minn 10x-5y=100 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-5y-14y=100+90$$

Żid -5y ma' -14y.

$$-19y=100+90$$

Żid 100 ma' 90.

$$-19y=190$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=-10$$

Issostitwixxi -10 għal y f'5x+7y=-45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Immultiplika 7 b'-10.

$$5x-70=-45$$

Żid 70 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-10$$