Issolvi {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Naqqas 2 minn -3 biex tikseb -5.

$$3x+5y-5=54$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$3x+5y=54+5$$

Żid 54 u 5 biex tikseb 59.

$$3x+5y=59$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Żid -2 u 3 biex tikseb 1.

$$2x+1+3y=48$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=48-1$$

Naqqas 1 minn 48 biex tikseb 47.

$$2x+3y=47$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+5y=59$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-5y+59$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+59}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Immultiplika 2 b'\frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Żid -\frac{10y}{3} ma' 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Naqqas \frac{118}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-23$$

Issostitwixxi -23 għal y f'x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Żid \frac{59}{3} ma' \frac{115}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=58$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=58,y=-23$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Naqqas 2 minn -3 biex tikseb -5.

$$3x+5y-5=54$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$3x+5y=54+5$$

Żid 54 u 5 biex tikseb 59.

$$3x+5y=59$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Żid -2 u 3 biex tikseb 1.

$$2x+1+3y=48$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=48-1$$

Naqqas 1 minn 48 biex tikseb 47.

$$2x+3y=47$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=58,y=-23$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Naqqas 2 minn -3 biex tikseb -5.

$$3x+5y-5=54$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$3x+5y=54+5$$

Żid 54 u 5 biex tikseb 59.

$$3x+5y=59$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Żid -2 u 3 biex tikseb 1.

$$2x+1+3y=48$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=48-1$$

Naqqas 1 minn 48 biex tikseb 47.

$$2x+3y=47$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Issimplifika.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Naqqas 6x+9y=141 minn 6x+10y=118 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-9y=118-141$$

Żid 10y ma' -9y.

$$y=118-141$$

Żid 118 ma' -141.

$$y=-23$$

Issostitwixxi -23 għal y f'2x+3y=47. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Immultiplika 3 b'-23.

$$2x-69=47$$

Żid 69 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=116$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=58$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=58,y=-23$$