Issolvi {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'50, l-inqas denominatur komuni ta' 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Immultiplika 2 u 27 biex tikseb 54.

$$54x+45y=50400$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$54x+45y=50400$$

Naqqas 45y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$54x=-45y+50400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Immultiplika \frac{1}{54} b'-45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Immultiplika \frac{11}{10} b'-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Żid -\frac{11y}{12} ma' \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Naqqas \frac{3080}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{461}{60}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{80}{461}$$

Issostitwixxi \frac{80}{461} għal y f'x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{6} b'\frac{80}{461} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Żid \frac{2800}{3} ma' -\frac{200}{1383} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'50, l-inqas denominatur komuni ta' 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Immultiplika 2 u 27 biex tikseb 54.

$$54x+45y=50400$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'50, l-inqas denominatur komuni ta' 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Immultiplika 2 u 27 biex tikseb 54.

$$54x+45y=50400$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Biex tagħmel 54x u \frac{11x}{10} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{11}{10} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Issimplifika.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Naqqas \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 minn \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Żid \frac{297x}{5} ma' -\frac{297x}{5}. \frac{297x}{5} u -\frac{297x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Żid \frac{99y}{2} ma' -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Żid 55440 ma' -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{4149}{10}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{80}{461}$$

Issostitwixxi \frac{80}{461} għal y f'\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Immultiplika \frac{43}{5} b'\frac{80}{461} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Naqqas \frac{688}{461} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{10}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$