Issolvi {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Ikkombina 8x u -3x biex tikseb 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Ikkombina -4y u 6y biex tikseb 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Naqqas 9 minn 12 biex tikseb 3.

$$5x+2y+3=48$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$5x+2y=48-3$$

Naqqas 3 minn 48 biex tikseb 45.

$$5x+2y=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Ikkombina 9x u 16x biex tikseb 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Ikkombina -12y u -8y biex tikseb -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Naqqas 36 minn 9 biex tikseb -27.

$$25x-20y-27=48$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$25x-20y=48+27$$

Żid 48 u 27 biex tikseb 75.

$$25x-20y=75$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+2y=45$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-2y+45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Issostitwixxi -\frac{2y}{5}+9 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Immultiplika 25 b'-\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Żid -10y ma' -20y.

$$-30y+225=75$$

Naqqas 225 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-30y=-150$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{2}{5}y+9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Immultiplika -\frac{2}{5} b'5.

$$x=-2+9$$

Żid 9 ma' -2.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Ikkombina 8x u -3x biex tikseb 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Ikkombina -4y u 6y biex tikseb 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Naqqas 9 minn 12 biex tikseb 3.

$$5x+2y+3=48$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$5x+2y=48-3$$

Naqqas 3 minn 48 biex tikseb 45.

$$5x+2y=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Ikkombina 9x u 16x biex tikseb 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Ikkombina -12y u -8y biex tikseb -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Naqqas 36 minn 9 biex tikseb -27.

$$25x-20y-27=48$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$25x-20y=48+27$$

Żid 48 u 27 biex tikseb 75.

$$25x-20y=75$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=7,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Ikkombina 8x u -3x biex tikseb 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Ikkombina -4y u 6y biex tikseb 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Naqqas 9 minn 12 biex tikseb 3.

$$5x+2y+3=48$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$5x+2y=48-3$$

Naqqas 3 minn 48 biex tikseb 45.

$$5x+2y=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Ikkombina 9x u 16x biex tikseb 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Ikkombina -12y u -8y biex tikseb -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Naqqas 36 minn 9 biex tikseb -27.

$$25x-20y-27=48$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$25x-20y=48+27$$

Żid 48 u 27 biex tikseb 75.

$$25x-20y=75$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Biex tagħmel 5x u 25x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'25 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Issimplifika.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Naqqas 125x-100y=375 minn 125x+50y=1125 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Żid 125x ma' -125x. 125x u -125x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$50y+100y=1125-375$$

Żid 50y ma' 100y.

$$150y=1125-375$$

Żid 1125 ma' -375.

$$150y=750$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'150.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'25x-20y=75. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$25x-20\times 5=75$$

Immultiplika -20 b'5.

$$25x-100=75$$

Żid 100 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25x=175$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=5$$