Issolvi {c}{x+y=1}{y=1/3x-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 3 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+1$$

Issostitwixxi -y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -\frac{1}{3}x+y=-3.

$$-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)+y=-3$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-y+1.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+y=-3$$

Żid \frac{y}{3} ma' y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}=-3$$

Żid \frac{1}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{4}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-2\right)+1$$

Immultiplika -1 b'-2.

$$x=2+1$$

Żid 1 ma' 2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

Naqqas -\frac{1}{3}x+y=-3 minn x+y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x+\frac{1}{3}x+y-y=1+3$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x+\frac{1}{3}x=1+3$$

Żid x ma' \frac{x}{3}.

$$\frac{4}{3}x=1+3$$

Żid 1 ma' 3.

$$\frac{4}{3}x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'-\frac{1}{3}x+y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-\frac{1}{3}\times 3+y=-3$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'3.

$$-1+y=-3$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-2$$