Issolvi {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+2y=8$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-2y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

Immultiplika 16 b'-\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

Żid -8y ma' -y.

$$-9y+32=14$$

Naqqas 32 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9y=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'2.

$$x=-1+2$$

Żid 2 ma' -1.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Biex tagħmel 4x u 16x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'16 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Issimplifika.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Naqqas 64x-4y=56 minn 64x+32y=128 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

Żid 64x ma' -64x. 64x u -64x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$32y+4y=128-56$$

Żid 32y ma' 4y.

$$36y=128-56$$

Żid 128 ma' -56.

$$36y=72$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'16x-y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$16x-2=14$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16x=16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$