Issolvi {c}{3x+2y=6}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 6 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=6$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+6.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{2y}{3}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-y=4.

$$-\frac{2}{3}y+2-y=4$$

Żid -\frac{2y}{3} ma' -y.

$$-\frac{5}{3}y+2=4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{3}y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{6}{5} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-\frac{6}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{4}{5}+2$$

Żid 2 ma' \frac{4}{5}.

$$x=\frac{14}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

Biex tagħmel 3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3x+2y=6,3x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

Issimplifika.

$$3x+2y=6,3x-3y=12$$

Naqqas 3x-3y=12 minn 3x+2y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+2y+3y=6-12$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+3y=6-12$$

Żid 2y ma' 3y.

$$5y=6-12$$

Żid 6 ma' -12.

$$5y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{6}{5} għal y f'x-y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-\left(-\frac{6}{5}\right)=4$$

Naqqas \frac{6}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{14}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$