Issolvi {c}{-3x-4y=4}{-5x+y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x - 4 y = 4 } \\ { - 5 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y=-\frac{14}{23}\approx -0.608695652$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-3x-4y=4,-5x+y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-3x-4y=4$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=4y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(4y+4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'4+4y.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4y-4}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+y=2.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+y=2$$

Immultiplika -5 b'\frac{-4y-4}{3}.

$$\frac{20}{3}y+\frac{20}{3}+y=2$$

Żid \frac{20y}{3} ma' y.

$$\frac{23}{3}y+\frac{20}{3}=2$$

Naqqas \frac{20}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{23}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{14}{23}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{23} għal y f'x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{14}{23}\right)-\frac{4}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'-\frac{14}{23} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{56}{69}-\frac{4}{3}$$

Żid -\frac{4}{3} ma' \frac{56}{69} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{12}{23},y=-\frac{14}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-3x-4y=4,-5x+y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-\left(-4\left(-5\right)\right)}&-\frac{-4}{-3-\left(-4\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3-\left(-4\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3-\left(-4\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 4-\frac{4}{23}\times 2\\-\frac{5}{23}\times 4+\frac{3}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\-\frac{14}{23}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{12}{23},y=-\frac{14}{23}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-3x-4y=4,-5x+y=2$$

Biex tagħmel -3x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-3.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-4\right)y=-5\times 4,-3\left(-5\right)x-3y=-3\times 2$$

Issimplifika.

$$15x+20y=-20,15x-3y=-6$$

Naqqas 15x-3y=-6 minn 15x+20y=-20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+20y+3y=-20+6$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y+3y=-20+6$$

Żid 20y ma' 3y.

$$23y=-20+6$$

Żid -20 ma' 6.

$$23y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$y=-\frac{14}{23}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{23} għal y f'-5x+y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x-\frac{14}{23}=2$$

Żid \frac{14}{23} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=\frac{60}{23}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{12}{23},y=-\frac{14}{23}$$