Issolvi {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x+7y=10$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-7y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-7y+10.

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

Issostitwixxi \frac{7y}{2}-5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+7y=2.

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

Immultiplika 3 b'\frac{7y}{2}-5.

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

Żid \frac{21y}{2} ma' 7y.

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{35}{2}y=17$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{35}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{34}{35}$$

Issostitwixxi \frac{34}{35} għal y f'x=\frac{7}{2}y-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

Immultiplika \frac{7}{2} b'\frac{34}{35} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{17}{5}-5$$

Żid -5 ma' \frac{17}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Naqqas 3x+7y=2 minn -2x+7y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

Żid 7y ma' -7y. 7y u -7y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2x-3x=10-2$$

Żid -2x ma' -3x.

$$-5x=10-2$$

Żid 10 ma' -2.

$$-5x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{5} għal x f'3x+7y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

Immultiplika 3 b'-\frac{8}{5}.

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

Żid \frac{24}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=\frac{34}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=\frac{34}{35}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$