Issolvi {l}{y-2x=4}{7x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 7 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-2x=4$$

Żid 2x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2x+4$$

Issostitwixxi 4+2x għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -y+7x=1.

$$-\left(2x+4\right)+7x=1$$

Immultiplika -1 b'4+2x.

$$-2x-4+7x=1$$

Żid -2x ma' 7x.

$$5x-4=1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=2x+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=2+4$$

Żid 4 ma' 2.

$$y=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=6,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 4+\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=6,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

Biex tagħmel y u -y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-y-\left(-2x\right)=-4,-y+7x=1$$

Issimplifika.

$$-y+2x=-4,-y+7x=1$$

Naqqas -y+7x=1 minn -y+2x=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-y+y+2x-7x=-4-1$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-7x=-4-1$$

Żid 2x ma' -7x.

$$-5x=-4-1$$

Żid -4 ma' -1.

$$-5x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'-y+7x=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-y+7=1$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=6,x=1$$