Issolvi {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+5x=1$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-5x+1$$

Issostitwixxi -5x+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+5x=7.

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

Immultiplika 2 b'-5x+1.

$$-10x+2+5x=7$$

Żid -10x ma' 5x.

$$-5x+2=7$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y=-5x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Immultiplika -5 b'-1.

$$y=5+1$$

Żid 1 ma' 5.

$$y=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=6,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=6,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Naqqas 2y+5x=7 minn y+5x=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-2y=1-7$$

Żid y ma' -2y.

$$-y=1-7$$

Żid 1 ma' -7.

$$-y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'2y+5x=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2\times 6+5x=7$$

Immultiplika 2 b'6.

$$12+5x=7$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=6,x=-1$$