Issolvi {l}{y=3/2x+5/2}{y=-2/3x+14/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 14 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Żid \frac{3x}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3x+5}{2} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Żid \frac{3x}{2} ma' \frac{2x}{3}.

$$\frac{13}{6}x+\frac{5}{2}=\frac{14}{3}$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{6}x=\frac{13}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{3+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' \frac{3}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{9}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{6}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{9}{13}\times \frac{14}{3}\\-\frac{6}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{6}{13}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=4,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Naqqas y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3} minn y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Żid -\frac{3x}{2} ma' -\frac{2x}{3}.

$$-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{14}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$-\frac{13}{6}x=-\frac{13}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{13}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

Naqqas \frac{2}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=1$$