Issolvi {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=10$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+10$$

Issostitwixxi y+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Immultiplika 2 b'y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Żid 2y ma' 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Żid 20 ma' \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Naqqas \frac{41}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Issostitwixxi \frac{359}{8} għal y f'x=y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Żid 10 ma' \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Issimplifika.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Naqqas 2x+2y+\frac{1}{2}=200 minn 2x-2y=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Żid -2y ma' -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Żid 20 ma' -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Żid \frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Issostitwixxi \frac{359}{8} għal y f'2x+2y+\frac{1}{2}=200. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Immultiplika 2 b'\frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Żid \frac{359}{4} ma' \frac{1}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Naqqas \frac{361}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{439}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$