Issolvi {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-7y=6$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=7y+6$$

Issostitwixxi 7y+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Immultiplika 5 b'7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Żid 35y ma' 3y.

$$38y+30=2$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$38y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{19} għal y f'x=7y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Immultiplika 7 b'-\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Biex tagħmel x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Issimplifika.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Naqqas 5x+3y=2 minn 5x-35y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-35y-3y=30-2$$

Żid -35y ma' -3y.

$$-38y=30-2$$

Żid 30 ma' -2.

$$-38y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{14}{19} għal y f'5x+3y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Immultiplika 3 b'-\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Żid \frac{42}{19} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{16}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$