Issolvi {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-3y=4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3y+4$$

Issostitwixxi 3y+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{4}{3} għal y f'x=3y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Immultiplika 3 b'\frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Żid 4 ma' 4.

$$x=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Biex tagħmel x u -\frac{x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-\frac{1}{2} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Issimplifika.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Naqqas -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} minn -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Żid -\frac{x}{2} ma' \frac{x}{2}. -\frac{x}{2} u \frac{x}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Żid \frac{3y}{2} ma' -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Żid -2 ma' \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{4}{3} għal y f'-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Naqqas \frac{4}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$