Issolvi {l}{x+y=50}{10x+20y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 10 x + 20 y = 500 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=50$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=50$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+50$$

Issostitwixxi -y+50 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 10x+20y=500.

$$10\left(-y+50\right)+20y=500$$

Immultiplika 10 b'-y+50.

$$-10y+500+20y=500$$

Żid -10y ma' 20y.

$$10y+500=500$$

Naqqas 500 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-y+50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=50$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=50,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{20-10}&-\frac{1}{20-10}\\-\frac{10}{20-10}&\frac{1}{20-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{10}\\-1&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 50-\frac{1}{10}\times 500\\-50+\frac{1}{10}\times 500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=50,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=50,10x+20y=500$$

Biex tagħmel x u 10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$10x+10y=10\times 50,10x+20y=500$$

Issimplifika.

$$10x+10y=500,10x+20y=500$$

Naqqas 10x+20y=500 minn 10x+10y=500 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+10y-20y=500-500$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-20y=500-500$$

Żid 10y ma' -20y.

$$-10y=500-500$$

Żid 500 ma' -500.

$$-10y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'10x+20y=500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$10x=500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=50$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=50,y=0$$