Issolvi {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'7y, l-inqas denominatur komuni ta' 7,y.

$$5y=7x$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$5y-7x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=36$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+36$$

Issostitwixxi -y+36 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

Immultiplika -7 b'-y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Żid 7y ma' 5y.

$$12y-252=0$$

Żid 252 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12y=252$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$y=21$$

Issostitwixxi 21 għal y f'x=-y+36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-21+36$$

Żid 36 ma' -21.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=21$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'7y, l-inqas denominatur komuni ta' 7,y.

$$5y=7x$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$5y-7x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=21$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'7y, l-inqas denominatur komuni ta' 7,y.

$$5y=7x$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$5y-7x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Biex tagħmel x u -7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Issimplifika.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

Naqqas -7x+5y=0 minn -7x-7y=-252 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Żid -7x ma' 7x. -7x u 7x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-7y-5y=-252$$

Żid -7y ma' -5y.

$$-12y=-252$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=21$$

Issostitwixxi 21 għal y f'-7x+5y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-7x+5\times 21=0$$

Immultiplika 5 b'21.

$$-7x+105=0$$

Naqqas 105 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=-105$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=21$$